Inequações Trigonométricas

 INTRODUÇÃO

        Quando encontramos função trigonométrica da incógnita ou função trigonométrica de alguma função da incógnita em pelo menos um dos membros de uma inequação, dizemos que esta inequação é trigonométrica.

Exemplos:

1) sen x >  e sen² x + tg 2 são inequações trigonométricas.

2) ( sen 30º) . (x² - 1) > 0  não são inequações trigonométricas.

               Resolver uma inequação como f(x) < g(x), por exemplo, significa determinar o conjunto S dos números s, sendo s elemento do domínio de f e de g, tais que f(s) < g(s).

               O conjunto S é chamado de conjunto solução da inequação e todo elemento de S é umasolução da inequação.

                Assim, na inequação sen x > , os números  são algumas de suas soluções e os números  não o são.

 RESOLUÇÃO DAS INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS

             Quase todas as inequações trigonométricas, quando convenientemente tratadas e transformadas, podem ser reduzidas a pelo menos uma das inequações fundamentais. Vamos conhecê-las, a seguir, através de exemplos.

1º caso : sen x < sen a (sen x  sen a)

 Por exemplo, ao resolvermos a inequação

 encontramos, inicialmente,

, que é uma solução particular no intervalo . Acrescentando  às extremidades dos intervalos encontrados, temos a solução geral em IR, que é:

               

O conjunto solução é, portanto:

Por outro lado, se a inequação fosse  , então, bastaria incluir as extremidades de

 e o conjunto solução seria:

Equações Trigonométricas

INTRODUÇÃO

         Quando encontramos função trigonométrica da incógnita ou função trigonométrica de alguma função da incógnita em pelo menos um dos membros de uma equação, dizemos que esta equação é trigonométrica.

Exemplos:
1) sen x + cos x =  e sen 2x = cos² x  são equações trigonométricas.

2) x + ( tg 30º) . x²  e x + sen 60º =  não são equações trigonométricas.

        Dizemos que r é uma raiz ou solução da equação trigonométrica f(x) = g(x) se r for elemento do domínio de f e g e se f(r) = g(r) for verdadeira.

        Na equação sen x - sen =0, por exemplo, os números  são algumas de suas raízes e os números   não o são.

        O conjunto S de todas as raízes da equação é o seu conjunto solução ou conjunto verdade.

        Quase todas as equações trigonométricas, quando convenientemente tratadas e transformadas, podem ser reduzidas a pelo menos uma das três equações seguintes:

sen x = sen a

cos x = cos a

tg x = tg a

       Estas são as equações trigonométricas elementares ou equações trigonométricas fundamentais.

RESOLUÇÃO DA 1ª EQUAÇÃO FUNDAMENTAL

     Ela baseia-se no fato de que, se dois arcos têm o mesmo seno, então eles são côngruos ou suplementares.

Logo, podemos escrever que:

sen x = sen a

O conjunto solução dessa equação será, portanto:

         

Logo, podemos escrever que:

cos x = cos a  x = a +

O conjunto solução dessa equação será, portanto:

RESOLUÇÃO DA 3ª EQUAÇÃO FUNDAMENTAL

           Ela baseia-se no fato de que, se dois arcos têm a mesma tangente, então eles são côngruos ou têm suas  extremidades simétricas em relação  ao centro do ciclo trigonométrico.

Logo, podemos escrever que:

O conjunto solução dessa equação será, portanto:

                                          

Trigonometria

A História

Papiro Rhind

Não se pode precisar a origem da trigonometria. Como toda área da Matemática, a trigonometria surgiu por diversos estudiosos, principalmente através do estudo da astronomia, agrimensura e navegação. Povos como os egípcios e os babilônios deram importantes contribuições para a descoberta e aperfeiçoamento desse ramo matemático tão importante à época, bem como em dias atuais.

No Papiro Rhind, documento egípcio que data de aproximadamente três mil anos, foram encontrados problemas relacionados à cotangente. Na tábua cuneiforme Plimpton 322, tábua babilônia com texto escrito entre 1900 e 1600 a.C., foram localizados problemas envolvendo secantes.

Ptolomeu

Euclides de Alexandria, em sua obra mundialmente conhecida, Os Elementos, apresentou alguns conceitos trigonométricos, porém representados através de formas geométricas. Mas foi Hiparco de Nicéia, na segunda metade do século II a.C., quem recebeu o título de Pai da Trigonometria, isso porque apresentou um tratado com cerca de 12 volumes nos quais tratava da trigonometria com a autoridade de quem conhecia profundamente o assunto. Naquele mesmo período, Hiparco apresentou ao mundo uma tábua de cordas, sendo ele o responsável pela elaboração da primeira tabela trigonométrica que se tem registro. Ainda naquela época, Ptolomeu apresentou sua tábua de cordas contendo o cálculo do seno dos ângulos de 0º a 90º, ângulos que seriam utilizados nos estudos astronômicos em que ele estava engajado. Hiparco e Ptolomeu deram imensas contribuições para o desenvolvimento da Matemática e da Astronomia. 

Hiparco, ao lado de Ptolomeu, é, sem dúvida, um dos nomes mais ilustres dos estudos antigos da trigonometria. É atribuída a ele, também, a divisão do círculo em 360º. Advindos do estudo da Astronomia surgiram os conceitos de seno e cosseno.  A tangente supostamente surgiu da necessidade de se calcular alturas e/ou distâncias.

Introdução à Trigonometria

A Trigonometria surgiu com o intuito de calcular distâncias com base na medida de ângulos. Os estudos são oriundos dos trabalhos de Hiparco, astrônomo grego que relacionou os lados e os ângulos de um triângulo. A Astronomia foi a grande responsável pelo desenvolvimento da Trigonometria, pois foi a partir dos astrônomos que surgiram os seus primeiros fundamentos. A Trigonometria está relacionada a diversas áreas do conhecimento humano, na Matemática está ligada ao triângulo retângulo, triângulo qualquer e ao círculo trigonométrico.

 Observe um modelo de apresentação e explicação das relações trigonométricas:

O ângulo α representa a inclinação da rampa, demonstre que quanto maior a medida do ângulo α mais íngreme será a rampa, e quanto menor o ângulo menos íngreme a rampa. Ressalte que todas as medidas estão relacionadas entre si, da seguinte forma: altura x percurso, altura x afastamento e afastamento x percurso. Destaque que para cada valor do ângulo de inclinação existe uma determinação para os elementos, percurso, altura e afastamento. 
A partir dessa definição de relação existente no modelo apresentado, mostre ao aluno que a situação se assemelha a um triângulo retângulo, dessa forma temos que em relação ao ângulo α: 

altura = cateto oposto
afastamento = cateto adjacente
percurso = hipotenusa 

Com base nessa ideia devemos determinar as seguintes relações trigonométricas:

sen = seno

cos = cos seno

tg = tan gente

Fonte: http://www.infoescola.com/matematica/historia-da-trigonometria/
http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/introducao-trigonometria.htm