Exercícios Trigonométricos

Exercícios Resolvidos

1 – Encontre as soluções das equações trigonométricas seguintes:
a) 3tg x + 4√3 = 5√3 no intervalo [0, 2π]
b) cos²x – 3cos x + 2 = 0 no intervalo 0 ≤ x ≤ π
c) sen 2x – 1/2 = 0 no intervalo 0 ≤ x ≤ π

Resolução:
a) 3tg x + 4√3 = 5√3
    3tg x = 5√3 - 4√3
    3tg x = √3
     tg x = √3
                3

No intervalo [0, 2π] os ângulos cuja tangente vale √3/3 são 30º e 210º.
S = {30º; 210º}

b) cos²x – 3cos x + 2 = 0
    cos x = t
    t² - 3t + 2 = 0
    t = 1  e  t = 2
Como não existe cosseno valendo 2:
cos x = 1
No intervalo 0 ≤ x ≤ π, x = 0.
S = { 0 }

c) sen 2x – 1/2 = 0
    sen 2x = 1/2

Os ângulos cujo seno vale 1/2 no intervalo 0 ≤ x ≤ π são 30º e 150º, porém o ângulo da questão é 2x, então:
2x = 30º  e  2x = 150º
x = 15º  e  x = 75º
S = {15º; 75º}


2 – (UFRGS) No intervalo [0, π] a equação tg x – 1 = 0:
a) não possui raízes.
b) possui uma única raiz.
c) possui apenas 2 raízes.
d) possui exatamente 4 raízes.
e) apresenta infinitas raízes.
Resolução:
tg x – 1 = 0
tg x = 1

Os ângulos onde a tangente vale 1 são 45º e 225º, no intervalo [0, 2π], então, no intervalo [0, π] temos uma única raiz.

Gabarito Letra: B 


3 – (ITA 2012) Seja x є [0, 2 π] tal que sen(x)cos(x) = 2/5. 
Então, o produto e a soma de todos os possíveis valores de tg(x) são, respectivamente 
a) 1 e 0 
b) 1 e 5/2
c) -1 e 0
d) 1 e 5
e) -1 e -5/2

Resolução:
sen(x)cos(x) = 2/5

Dividimos todo mundo por cos²(x), pois surge uma tangente e uma secante ao quadrado que podemos transformar em tangente depois, vejamos como fazemos aparecer o que buscamos:
sen(x)cos(x) =   2/5  
cos(x)cos(x) = cos²(x)

tg(x) = 2 .  1    .
           5  cos²(x)

tg(x) = 2sec²(x)
           5

A identidade trigonométrica diz que:
sec²x = 1 + tg²x

tg(x) = 2/5[1 + tg²(x)]
tg(x) = 2/5 + 2/5tg²(x)
– 2/5tg²(x) + tg(x) – 2/5 = 0

Caímos numa equação do 2º grau, cuja incógnita é tg(x) fazendo a soma e o produto em função de tg(x) chegamos em:
Soma = 5/2   Produto: 1

Gabarito Letra: B

Exercícios Propostos

1) Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos ângulos mede 60.

2) Quando o ângulo de elevação do sol é de 65 , a sombra de um edifício mede 18 m. Calcule a altura do edifício.
(sen 65 = 0,9063, cos 65 = 0,4226 e tg 65 = 2,1445)

3) Quando o ângulo de elevação do sol é de 60, a sombra de uma árvore mede 15m. Calcule a altura da árvore, considerando 3 = 1,7.

4) Uma escada encostada em um edifício tem seus pés afastados a 50 m do edifício, formando assim, com o plano horizontal, um ângulo de 32. A altura do edifício é aproximadamente: (sen 32 = 05299, cos 32 = 0,8480 e tg 32 = 0,6249)

                      a) 28,41m          b) 29,87m         c) 31,24 m       d) 34,65 m

5) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30.Depois de percorrer 8 km, o avião se encontra a uma altura de:

                a)2 km                  b)3 km             c)4 km              d)5 km

6) Um foguete é lançado sob um ângulo de 30. A que altura se encontra depois de percorrer 12 km em linha reta?

7) Do alto de um farol, cuja altura é de 20 m, avista-se um navio sob um ângulo de depressão de 30. A que distância, aproximadamente, o navio se acha do farol? (Use 3 = 1,73)

8 ) Num exercício de tiro, o alvo está a 30 m de altura e, na horizontal, a 82 m de distância do atirador. Qual deve ser o ângulo (aproximadamente) de lançamento do projétil? (sen 20 = 0,3420, cos 20 = 0,9397 e tg 20 = 0,3640)

9) Se cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60 , calcule a medida da altura de um triângulo equilátero de lado 20 cm.

10) Um alpinista deseja calcular a altura de uma encosta que vai escalar. Para isso, afasta-se, horizontalmente, 80 m do pé da encosta e visualiza o topo sob um ângulo de 55 com o plano horizontal. Calcule a altura da encosta. (Dados: sem 55 = 0,81, cos 55 = 0,57 e tg 55= 1,42)

Gabarito:

1) 33 e 3 

2) 38,6 m

3) 25,5 m

4) 31,24 m

5)4 km
6) 6 km      
7) 34,6m  
8 ) 20
9) 103
1O) 113,6m

Fonte:http://www.mundovestibular.com.br/articles/5923/1/Exercicios-de-Trigonometria/Paacutegina1.html